6. Calcul 3D

Ce chapitre utilise les techniques de calcul des points dans l'espace qui ont été décrites dans le chapitre 3 de ce rapport.

Nous étudions dans la suite de ce chapitre les deux type de calculs, suivant que nous sommes en présence d'une projection centrale ou parallèle.

Pour cela, nous avons choisi cinq exemples d'ensembles de points que nous définissons comme suit:

1) orthogonal est un premier ensemble de points de l'espace généré artificiellement en projection orthogonale

2) central_près est le même ensemble de points que orthogonal, mais généré en projection centrale. Les centres optiques C et C'ont été choisis proches des points de l'espace afin d'apprécier leur influence dans la méthode de calcul choisie.

3) central_loin est généré en projection centrale. Les centres optiques C et C'ont été choisis éloignés des points de l'espace afin d'apprécier leur influence dans la méthode de calcul choisie.

4) pyramide est un ensemble de points issu des images réelles de la pyramide que nous avons étudiées au cours de ce travail. Ce sont donc des points acquis à partir d'une caméra video, appariés manuellement sur les deux images et évalués dans l'espace par mesure sur le modèle. Nous appliquons les deux algorithmes de calcul sur ces points et nous étudions la précision et la stabilité des résultats lorsqu'on injecte une erreur dans les coordonnées des points sur les plans images.

 

Méthode expérimentale

Pour chaque ensemble de points, nous présentons tout d'abord les coordonnées de leurs images sur chaque plan (X1,Y1) et (X2,Y2) par rapport à leur référentiel respectif, ainsi que les coordonnées (X3D,Y3D,Z3D) des points réels dans le référentiel de l'espace.

Nous présentons ensuite les résultats du calcul de ces points dans l'espace. Ce calcul est réalisé en deux étapes:

1) D'abord la relation entre les plans images est calculée et les points homologues sont recalculés par l'homographie déduite de cette étape. Cette relation utilise d'une part les 3 premiers couples de points comme points de base qui servent au changement de coordonnées, et d'autre part le reste des points dits secondaires pour l'alignement avec l'épipôle.

2) Ensuite le calcul est réalisé avec les deux méthodes. La première suppose une projection parallèle, basée sur la connaissance dans l'espace des quatre premiers points de l'ensemble. La seconde suppose une projection centrale et utilise les coordonnées 3D des cinq premiers points de l'ensemble. Les points de base seront donc quatre ou cinq suivant la méthode utilisée. Les points sont calculés dans l'espace par l'intersection des deux droites définies pour chaque point selon les techniques décrite dans le chapitre 3.

Les résultats obtenus par les deux méthodes de calcul sont présentés dans des tableaux qui comprennent pour chaque point ses coordonnées réelles, ses coordonnées calculées, l'erreur aux moindres carrés du système de résolution de l'intersection des deux droites dans l'espace, et la distance euclidienne entre le point réel et le point calculé. Il faut noter que par définition les points de base seront calculés avec exactitude dans les reconstructions 3D, c'est à dire les quatre premiers points pour la projection parallèle, et les cinq premiers pour la projection centrale.

Le but de cette expérience est d'évaluer les performances des deux techniques, ainsi que la qualité des reconstructions de points avec la technique en quatre points pour les images perspectives.

Pour évaluer l'erreur relative de la reconstruction par rapport à la taille de l'objet, nous avons calculé la somme des distances entre chaque couple de points et la somme des variations par rapport au total des distances. Pour cela, nous utilisons deux variables:

- Somme des distance réelles: c'est la somme des distances réelles entre tous les points de l'ensemble pris deux à deux. Cette somme est notée S.

- Ecart entre distances: si nous appelons Di la distance réelle entre deux points de l'objet et Di' la distance entre les points calculés, l'écart calculé est la valeur ei = |Di - Di|. L'écart E représente la somme des ei pour chaque couple de points.

Nous pouvons calculer cette variation en pourcentage, elle nous donne une idée de l'erreur de reconstruction relative à la taille de l'objet.

La fin de ce chapitre présente une étude de l'erreur de reconstruction si l'on traite un image perspective comme une projection parallèle, et une étude de l'influence du bruit sur les reconstructions.

 

 

6.1 Exemple orthogonal

 

X1

Y1

X2

Y2

X3D

Y3D

Z3D

48.293

2.540

73.345

-31.286

15.00

26.00

-14.00

42.079

11.622

13.902

4.159

72.00

35.00

-62.00

26.564

-50.646

81.295

24.562

31.00

-24.00

-62.00

9.983

-62.959

115.134

8.699

14.00

-47.00

-37.00

18.466

-14.388

109.567

-46.359

6.00

-9.00

12.00

-4.443

-25.242

108.441

-37.079

25.00

-31.00

5.00

-4.121

-9.164

114.475

-62.307

17.00

-21.00

30.00

-7.529

-78.121

78.405

53.721

62.00

-64.00

-87.00

28.128

-61.358

131.429

-2.328

-14.00

-36.00

-24.00

31.929

-26.861

115.235

-31.986

-7.00

-9.00

-1.00

34.663

4.385

83.840

-45.390

15.00

17.00

3.00

31.919

10.241

67.423

-40.088

31.00

21.00

-6.00

37.739

8.224

138.203

-93.822

-37.00

15.00

62.00

43.311

96.521

8.325

-98.669

64.00

92.00

32.00

312.534

88.719

5.121

-22.700

-125.00

264.00

-62.00

-35.098

-63.082

-7.027

97.751

157.00

-62.00

-148.00

Coordonnées des points sur les plans image et dans l'espace

Dans cet exemple, les points de l'espace sont projetés de façon orthogonale sur les deux plans images.

Notation : les valeurs élevées sont présentées en notation scientifique, par exemple 10000 est présenté E4.

La première étape de calcul de la relation entre les plans images donne:

Homographie entre plans images: a=1 b=1 c=1 errmc=0 errcoef=0

Epipôles calculés: I=(52 E7, 97 E6) I'=(68 E6, 13 E6) errmc = 0

Les valeurs calculées pour les épipôles sur les deux plans images sont conformes à la théorie c'est à dire qu'ils sont rejetés à l'infini (limité à une valeur importante du fait des erreurs d'arrondi sur la représentation de nombres réels).

 

Dans la deuxième étape du calcul résumée par les deux tableaux suivants, nous observons l'exactitude de la reconstruction.

- La projection parallèle étant conforme au mode de génération des points, ceci confirme la validité de la méthode de calcul.

Distance totale entre points 3D et points calculés : 0.000416

Somme des distances entre points: S=15252.43, somme des différences E=0.00, soit 0.00 % de S.

- La projection centrale donne:

Homographie du plan de l'espace vers le plan image de référence: u=0.228 v=0.228 w=0.228

Centre optiques calculés: C=(-38 E6, -50 E5, 43 E6) C'=(-19 E6, 20 E6, -22 E5)

Les centres optiques sont théoriquement à l'infini, mais la représentation des réels induit une erreur sur leur position, ce qui entraîne des erreurs aux moindres carrés lors de la reconstruction des points qui est malgré tout exacte.

Distance totale entre points 3D et points calculés : 0.003588

Somme des distances entre points S=15252.43, somme des différences E=0.05, soit 0.00 % de S.

 

Xréel

Yréel

Zréel

Xcalc.

Ycalc.

Zcalc.

errmc

dist.

15.00

26.00

-14.00

15.00

26.00

-14.00

0.00

0.00

72.00

35.00

-62.00

72.00

35.00

-62.00

0.00

0.00

31.00

-24.00

-62.00

31.00

-24.00

-62.00

0.00

0.00

14.00

-47.00

-37.00

14.00

-47.00

-37.00

0.00

0.00

6.00

-9.00

12.00

6.00

-9.00

12.00

0.00

0.00

25.00

-31.00

5.00

25.00

-31.00

5.00

0.00

0.00

17.00

-21.00

30.00

17.00

-21.00

30.00

0.00

0.00

62.00

-64.00

-87.00

62.00

-64.00

-87.00

0.00

0.00

-14.00

-36.00

-24.00

-14.00

-36.00

-24.00

0.00

0.00

-7.00

-9.00

-1.00

-7.00

-9.00

-1.00

0.00

0.00

15.00

17.00

3.00

15.00

17.00

3.00

0.00

0.00

31.00

21.00

-6.00

31.00

21.00

-6.00

0.00

0.00

-37.00

15.00

62.00

-37.00

15.00

62.00

0.00

0.00

64.00

92.00

32.00

64.00

92.00

32.00

0.00

0.00

-125.00

264.00

-62.00

-125.00

264.00

-62.00

0.00

0.00

157.00

-62.00

-148.00

157.00

-62.00

-148.00

0.00

0.00

Résultat du calcul avec la méthode à 4 points (projection parallèle)

 

Xréel

Yréel

Zréel

Xcalc.

Ycalc.

Zcalc.

errmc

dist.

15.00

26.00

-14.00

15.00

26.00

-14.00

0.00

0.00

72.00

35.00

-62.00

72.00

35.00

-62.00

0.00

0.00

31.00

-24.00

-62.00

31.00

-24.00

-62.00

0.00

0.00

14.00

-47.00

-37.00

14.00

-47.00

-37.00

0.00

0.00

6.00

-9.00

12.00

6.00

-9.00

12.00

0.00

0.00

25.00

-31.00

5.00

25.00

-31.00

5.00

5606.39

0.00

17.00

-21.00

30.00

17.00

-21.00

30.00

1801.59

0.00

62.00

-64.00

-87.00

62.00

-64.00

-87.00

135.81

0.00

-14.00

-36.00

-24.00

-14.00

-36.00

-24.00

10.83

0.00

-7.00

-9.00

-1.00

-7.00

-9.00

-1.00

6930.65

0.00

15.00

17.00

3.00

15.00

17.00

3.00

518.43

0.00

31.00

21.00

-6.00

31.00

21.00

-6.00

9460.46

0.00

-37.00

15.00

62.00

-37.00

15.00

62.00

78.64

0.00

64.00

92.00

32.00

64.00

92.00

32.00

17898

0.00

-125.0

264.0

-62.00

-125.00

264.00

-62.00

4549690

0.00

157.00

-62.00

-148.00

157.00

-62.00

-148.00

18917

0.00

Résultat du calcul avec la méthode à 5 points (projection centrale)

 

 

6.2 Exemple central_près

 

X1

Y1

X2

Y2

X3D

Y3D

Z3D

57.616

12.500

62.013

-82.305

15.00

26.00

-14.00

58.333

14.336

39.349

8.294

72.00

35.00

-62.00

56.488

8.538

82.581

19.796

31.00

-24.00

-62.00

52.534

3.605

96.998

12.632

14.00

-47.00

-37.00

43.307

3.112

104.053

-33.152

6.00

-9.00

12.00

45.023

5.519

94.288

-6.949

25.00

-31.00

5.00

21.668

0.438

99.619

-24.695

17.00

-21.00

30.00

55.078

8.396

82.381

25.233

62.00

-64.00

-87.00

51.388

-5.124

118.292

2.584

-14.00

-36.00

-24.00

49.147

-1.028

118.895

-37.505

-7.00

-9.00

-1.00

53.744

12.176

83.870

-63.318

15.00

17.00

3.00

55.204

13.863

68.244

-37.292

31.00

21.00

-6.00

63.870

15.794

-71.681

327.498

-37.00

15.00

62.00

56.975

27.407

-731.820

-1219.26

64.00

92.00

32.00

215.067

60.141

91.794

19.423

-125.00

264.00

-62.00

56.135

11.758

69.011

28.853

157.00

-62.00

-148.00

Coordonnées des points sur les plans image et dans l'espace

 

Dans cet exemple, les points de l'espace sont projetés de façon centrale sur les deux plans images. Les centre optiques : C=(-19, 38, 24) C'=(-8, 17, -57) sont très proches des points de l'espace, ce qui correspond à une prise de vue très rapprochée d'une scène.

La première étape de calcul de la relation entre les plans images donne:

Homographie entre plans images: a=2.394 b=1.815 c=1

Epipôles calculés: I=(61.5, 8.04) I'=(57.22, 10.26)

 

Dans la deuxième étape du calcul résumée par les deux tableaux suivants, nous observons une forte disparité des résultats de reconstruction suivant la méthode employée.

- La projection parallèle donne des résultats aberrants ce qui prouve que la distance trop proche des centres optique par rapport à la profondeur de la scène observée interdit une approximation par projection parallèle. Les études dans ce domaine annoncent un rapport minimum de 10 entre la distance et la profondeur de la scène pour une approximation par projection parallèle.

Distance totale entre points 3D et points calculés : 5125.45

Somme distances réelles S=15252.43 somme des différences E=55076.43 soit 361.1 % de S.

- La projection centrale donne:

Les centres optiques sont calculés avec exactitude ce qui valide la méthode de calcul employée.

Homographie du plan de l'espace vers le plan image de référence: u=1.34 v=3.84 w=2.84

Centre optiques calculés: C=(-19, 38, 24) C'=(-8, 17, -57)

Les points sont calculés de façon exacte et les erreurs aux moindres carrés lors de leur reconstruction sont négligeables.

Distance totale entre points 3D et points calculés : 0.034121

Somme des distances entre points S=15252.43,

Somme des différences E=0.44, soit 0.00 % de S.

 

Xréel

Yréel

Zréel

Xcalc.

Ycalc.

Zcalc.

errmc

dist.

15.00

26.00

-14.00

15.00

26.00

-14.00

0.00

0.00

72.00

35.00

-62.00

72.00

35.00

-62.00

0.00

0.00

31.00

-24.00

-62.00

31.00

-24.00

-62.00

0.00

0.00

14.00

-47.00

-37.00

14.00

-47.00

-37.00

0.00

0.00

6.00

-9.00

12.00

-5.91

66.75

145.52

11971

153.97

25.00

-31.00

5.00

13.69

78.65

125.51

12487

163.32

17.00

-21.00

30.00

11.37

298.39

487.43

11E4

557.93

62.00

-64.00

-87.00

33.85

-8.72

-41

254

77.18

-14.00

-36.00

-24.00

-13.57

-162.89

-102

5888

149.04

-7.00

-9.00

-1.00

-26.77

-68.30

6.17

0.10

62.92

15.00

17.00

3.00

1.30

72.88

66.59

5227

85.76

31.00

21.00

-6.00

26.78

75.81

35.71

3740

69.01

-37.00

15.00

62.00

302.03

-54.75

-382.03

19844

563.00

64.00

92.00

32.00

415.84

192.92

-221.54

82E4

445.26

-125.0

264.00

-62.00

-39.75

-1234

-2205

15E5

2616

157.00

-62.00

-148.00

49.40

27.14

-32.34

999

181.39

Résultat du calcul avec la méthode à 4 points (projection parallèle)

 

Xréel

Yréel

Zréel

Xcalc.

Ycalc.

Zcalc.

errmc

dist.

15.00

26.00

-14.00

15.00

26.00

-14.00

0.00

0.00

72.00

35.00

-62.00

72.00

35.00

-62.00

0.00

0.00

31.00

-24.00

-62.00

31.00

-24.00

-62.00

0.00

0.00

14.00

-47.00

-37.00

14.00

-47.00

-37.00

0.00

0.00

6.00

-9.00

12.00

6.00

-9.00

12.00

0.00

0.00

25.00

-31.00

5.00

25.00

-31.00

5.00

0.00

0.00

17.00

-21.00

30.00

17.00

-21.00

30.00

0.00

0.00

62.00

-64.00

-87.00

62.00

-64.00

-87.00

0.00

0.00

-14.00

-36.00

-24.00

-14.00

-36.00

-24.00

0.00

0.00

-7.00

-9.00

-1.00

-7.00

-9.00

-1.00

0.00

0.00

15.00

17.00

3.00

15.00

17.00

3.00

0.00

0.00

31.00

21.00

-6.00

31.00

21.00

-6.00

0.00

0.00

-37.00

15.00

62.00

-37.00

15.00

62.00

0.00

0.00

64.00

92.00

32.00

64.00

92.00

32.00

0.00

0.00

-125.00

264.00

-62.00

-124.99

263.98

-62.00

0.00

0.02

157.00

-62.00

-148.00

157.00

-62.00

-148.00

0.00

0.01

Résultat du calcul avec la méthode à 5 points (projection centrale)

 

 

6.3 Exemple central_loin

 

X1

Y1

X2

Y2

X3D

Y3D

Z3D

975.031

-23.720

56.497

-615.222

0.00

0.00

0.00

977.309

-28.239

60.213

-616.965

5.00

8.80

0.00

978.667

-26.104

58.234

-617.840

7.50

4.40

0.00

976.239

-25.926

58.234

-614.751

2.50

4.40

5.00

976.279

-24.310

56.868

-615.584

2.50

1.10

1.90

977.314

-26.714

58.859

-616.333

4.80

5.80

2.10

974.812

-28.114

60.325

-615.222

0.00

8.80

0.00

977.528

-23.845

56.373

-616.965

5.00

0.00

0.00

977.327

-25.413

57.729

-616.325

4.70

3.20

2.00

975.926

-27.349

59.537

-615.444

2.10

7.20

1.90

Coordonnées des points sur les plans image et dans l'espace

Les points sont projetés de façon centrale sur les plans images. Les centres optiques sont éloignés des points de l'espace.

Dans cet exemple, les points de l'espace sont projetés de façon centrale sur les deux plans images. Les centre optiques : C=(-50, 50, 2000) C'=(770, 100, 1000) sont éloignés des points de l'espace, ce qui correspond à une prise de vue à distance d'une scène.

La première étape de calcul de la relation entre les plans images donne:

Homographie entre plans images: a=0.996 b=0.999 c=1 errmc=0 errcoef=0

Epipôles calculés: I=(1764,16, -138.16) I'=(8638.37, -1127.41) errmc=0

 

Dans la deuxième étape du calcul résumée par les deux tableaux suivants, nous observons une identité des résultats de reconstruction avec les deux méthodes.

- La projection parallèle donne de très bons résultats ce qui montre qu'à partir d'un certain rapport entre la distance des centres optique et la profondeur de la scène observée permet une approximation par projection parallèle. Ce rapport étant de 100 dans ce cas une approximation par projection parallèle est tout à fait valide.

Distance totale entre points 3D et points calculés : 0.061847

Somme des distances réelle S=265.41

Somme des différences E=0.15 soit 0.06 % de S

 

- La projection centrale donne:

Les centres optiques sont calculés avec exactitude ce qui valide la méthode de calcul employée.

Homographie du plan de l'espace vers le plan image de référence: u=0.094713 v=0.094715 w=0.094714

Centre optiques calculés: C=(-50, 50, 2001) C'=(770.4, 100.1, 1000.5)

Les points sont calculés de façon exacte et les erreurs aux moindres carrés lors de leur reconstruction sont négligeables.

Distance totale entre points 3D et points calculés : 0.000150

Somme des distances réelle S=265.41

Somme des différences E=0.00 soit 0.00 % de S

 

Xréel

Yréel

Zréel

Xcalc.

Ycalc.

Zcalc.

errmc

dist.

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

5.00

8.80

0.00

5.00

8.80

-0.00

0.00

0.00

7.50

4.40

0.00

7.50

4.40

-0.00

0.00

0.00

2.50

4.40

5.00

2.50

4.40

5.00

0.00

0.00

2.50

1.10

1.90

2.50

1.10

1.90

0.00

0.01

4.80

5.80

2.10

4.80

5.80

2.10

0.00

0.00

0.00

8.80

0.00

0.00

8.78

-0.01

0.00

0.02

5.00

0.00

0.00

5.00

-0.00

0.01

0.00

0.01

4.70

3.20

2.00

4.70

3.20

2.01

0.00

0.01

2.10

7.20

1.90

2.10

7.20

1.89

0.00

0.01

Résultat du calcul avec la méthode à 4 points (projection parallèle)

 

Xréel

Yréel

Zréel

Xcalc.

Ycalc.

Zcalc.

errmc

dist.

-0.00

-0.00

-0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

5.00

8.80

0.00

5.00

8.80

-0.00

0.00

0.00

7.50

4.40

0.00

7.50

4.40

-0.00

0.00

0.00

2.50

4.40

5.00

2.50

4.40

5.00

0.00

0.00

2.50

1.10

1.90

2.50

1.10

1.90

0.00

0.00

4.80

5.80

2.10

4.80

5.80

2.10

0.00

0.00

0.00

8.80

-0.00

-0.00

8.80

-0.00

0.00

0.00

5.00

0.00

0.00

5.00

0.00

-0.00

0.00

0.00

4.70

3.20

2.00

4.70

3.20

2.00

0.00

0.00

2.10

7.20

1.90

2.10

7.20

1.90

0.00

0.00

Résultat du calcul avec la méthode à 5 points (projection centrale)

 

 

6.4 Relation projection parallèle / centrale

Pour visualiser l'influence de l'approximation d'une projection centrale en projection parallèle, nous avons fait varier la distance des plans de projection à l'objet observé et calculé la variation des résultats obtenus.

Nous avons modélisé les appareils de prise de vue selon un modèle perspectif, c'est à dire un plan de projection Pi et un centre de projection associé Ci.

Les deux appareils de prise de vue sont caractérisés par:

P1: (0,10,-d) (0,0,-d) (10,0,-d) et C1: (5,5,-d-f)

P2: (10-d,0,-d) (10-d,10,-d) (40-d,0,10-d) et C2: (25-d-f,5,5-d-f)

Nous avons fixé f=50 ce qui correspond à la focale et nous avons fait varier d, ce qui revient à déplacer les appareils de prise de vue dans l'espace.

Pour chaque variation de d, nous avons projeté l'ensemble de points 3D de l'exemple précédent central_loin, qui est aussi celui de l'exemple optique pyramide. Nous avons reconstruit les points 3D avec la méthode en 4 points qui suppose la projection parallèle. Cette méthode nous a donné l'erreur relative de la reconstruction, et nous l'avons reportée sur la figure suivante qui représente d sur l'axe des X en échelle logarithmique, et le pourcentage d'erreur de reconstruction sur l'axe des Y.

 

La profondeur de l'objet étant de l'ordre de 10, on observe qu'à une distance supérieure à 200, les erreurs deviennent faibles. Elles sont négligeables au dessus de 1000. Ces valeurs correspondent respectivement à un rapport distance / taille de 20 et 100.

Ces résultats résument les exemples précédents et montrent que la projection peut être approximée par une projection parallèle dès que l'on se trouve à une certaine distance de l'objet observé. Ces résultats mériteront d'être approfondis afin d'analyser plus finement les influences de la distance, la taille de l'objet et la focale de l'appareil de prise de vue.

 

6.5 Exemple pyramide (optique)

 

X1

Y1

X2

Y2

X3D

Y3D

Z3D

15

150

89

41

0

0

0

454

106

395

186

5

8.8

0

343

188

169

202

7.5

4.4

0

164

34

255

26

2.5

4.4

5

93

128

121

61

2.5

1.1

1.9

306

100

272

126

4.8

5.8

2.1

336

50

457

97

0

8.8

0

112

213

16

124

5

0

0

206

133

157

111

4.7

3.2

2

312

58

370

96

2.1

7.2

1.9

Coordonnées des points sur les plans image et dans l'espace

 

Les points de cet ensemble sont issus des images de la pyramide que nous avons présentées au cours de ce rapport. La projection est donc centrale, mais elle a aussi subi les distorsions dues à l'optique de l'appareil de prise de vue. D'autre part, la position exacte des points sur l'image peut être entachée d'erreur, ainsi que l'évaluation de la position des points correspondants dans l'espace.

L'objet observé est assez compact et éloigné de l'appareil de prise de vue.

 

La première étape de calcul de la relation entre les plans images donne:

Homographie entre plans images: a=0.997 b=0.986 c=1 errmc=0 errcoef=0.03

Epipôles calculés: I=(1860, -1177) I'=(1573, -922) errmc=0.0001

Les erreurs aux moindres carrés ainsi que l'autocontrôle sur les coefficients de l'homographie montrent que la résolution est correcte, ce qui permet d'envisager une bonne reconstruction 3D.

Dans la deuxième étape du calcul résumée par les deux tableaux suivants, nous observons une quasi identité des résultats de reconstruction avec les deux méthodes.

- La projection parallèle donne:

Distance totale entre points 3D et points calculés : 2.766678

Somme des distances réelle S=265.41

Somme des différences E=9.25 soit 3.48 % de S

- La projection centrale donne:

Homographie du plan de l'espace vers le plan image de référence: u=0.0174 v=0.0183 w=0.017

Centre optiques calculés: C=(50,5, -5.9, 37.9) C'=(79.9, 26.3, 80.7)

Distance totale entre points 3D et points calculés : 2.659343

Somme des distances réelle S=265.41

Somme des différences E=9.67 soit 3.64 % de S

On remarque que les centres optiques calculés sont aberrants, ce qui montre leur grande instabilité qui s'explique par leur mode de calcul. Le gain par rapport à la méthode à quatre point est minime. Ceci pose le problème des déformations des plans images et de la robustesse de la méthode de calcul.

 

Xréel

Yréel

Zréel

Xcalc.

Ycalc.

Zcalc.

errmc

dist.

0.00

0.00

0.00

0.00

-0.00

0.00

0.00

0.00

5.00

8.80

0.00

5.00

8.80

0.00

0.00

0.00

7.50

4.40

0.00

7.50

4.40

0.00

0.00

0.00

2.10

7.20

1.90

2.10

7.20

1.90

0.00

0.00

2.50

4.40

5.00

1.80

4.32

5.10

0.03

0.71

2.50

1.10

1.90

2.08

1.38

1.80

0.02

0.51

4.80

5.80

2.10

4.52

5.72

2.16

0.00

0.30

0.00

8.80

0.00

0.00

8.54

-0.06

0.00

0.27

5.00

0.00

0.00

4.44

-0.14

-0.46

0.03

0.74

4.70

3.20

2.00

4.54

3.04

2.09

0.02

0.24

Résultat du calcul avec la méthode à 4 points (projection parallèle)

 

Xréel

Yréel

Zréel

Xcalc.

Ycalc.

Zcalc.

errmc

dist.

-0.00

-0.00

-0.00

0.00

-0.00

0.00

0.00

0.00

5.00

8.80

0.00

5.00

8.80

0.00

0.00

0.00

7.50

4.40

0.00

7.50

4.40

0.00

0.00

0.00

2.10

7.20

1.90

2.10

7.20

1.90

0.00

0.00

2.50

4.40

5.00

2.50

4.40

5.00

0.00

0.00

2.50

1.10

1.90

2.52

1.53

1.82

18.21

0.44

4.80

5.80

2.10

4.90

5.70

2.17

17.08

0.16

0.00

8.80

-0.00

-0.94

8.72

-0.29

1.07

0.99

5.00

0.00

0.00

4.42

0.12

-0.48

3.61

0.76

4.70

3.20

2.00

5.00

3.17

2.07

41.42

0.31

Résultat du calcul avec la méthode à 5 points (projection centrale)

 

6.6 Etude de la stabilité

Nous présentons ici une première évaluation de la résistance des calculs au bruit. Pour cela, nous avons utilisé l'erreur de reconstruction relative décrite au début de ce chapitre.

Notation:

les points images du plan de référence sont notés mi

les points images du plan homologue sont notés mi'

les points images bruités du plan homologue sont notés mi"

les points supposés connus dans l'espace sont notés Pi

les points reconstruits dans l'espace sont notés Qi

 

Définition du bruit:

Nous générons un bruit blanc gaussien qui prend une valeur aléatoire dans l'intervalle [-M,M]. Ce bruit B(M) est ensuite appliqué aux coordonnées X et Y des points mi' sur le plan image homologue. Les points mi du plan image de référence sont inchangés. La valeur de M varie de 0 à 8.

 

Classes de points:

Pour l'application de ce bruit, nous considérons trois classes de points:

- C1 représente l'ensemble des points.

- C2 représente les points de base qui sont utilisés dans le calcul de la calibration c'est à dire 4 pour la projection parallèle, et 5 pour la projection perspective.

- C3 représente les points secondaire qui ne sont pas de base, c'est à dire C3 = C1 - C2.

Chaque point de la classe Cn, mi'(Xi',Yi') est transformé en mi"(Xi",Yi") avec Xi"=Xi'+B(M) et Yi"=Yi'+B(M), que nous notons mi"=mi' + B(M).

 

Méthode expérimentale:

Nous avons fait deux expérimentations sur l'exemple précédent: pyramide, qui est constitué de points mesurés dans les plans images et dans l'espace. Ces points sont déjà bruités, comme le montre l'écart entre les points réels et calculés. Cependant, ce jeu d'essai nous permet d'apprécier l'évolution de l'erreur après bruitage, sur des objets réels.

La première expérimentation a utilisé la méthode à quatre points (projection supposée parallèle) et la seconde la méthode centrale (projection perspective)

Chaque expérimentation, est divisée en trois sous expérimentations où l'on bruite une des classes de points C1, C2 ou C3.

La valeur du bruit est comprise dans une fenêtre dont la borne maximale varie de 0 à 10 pixels.

Le calcul consiste alors à mesurer pour chaque fenêtre de bruit la variation moyenne de la reconstruction sur 100 itérations.

 

Algorithme de l'expérimentation:

Choix de la classe Cn des points à bruiter

S= somme (dist(Pi,Pj), i<>j)

Pour M = 0 jqa 10 faire

Pour k = 1 jqa 100 faire

Pour tout mi' de classe Cn, mi"= mi' + B(M)

Ek= somme (|dist(Pi,Pj)-dist(Qi,Qj)|, i<>j) / S *100

Fait

Emoyen(M) = somme(Ek)/ 100

Fait

Dans lequel les variables sont:

Cn: clase de points à bruiter

M : valeur maximale du bruit. Cette valeur est présentée en abscisses sur la figure.

k : le nombre d'itération par fenêtre de bruit

Ek: l'écart relatif entre la reconstruction et les points réels

Emoyen(M): la valeur moyenne de l'écart relatif par fenêtre de bruit. Cette valeur est présentée en ordonnées sur la figure.

 

Les résultats présentés sur les deux figures suivantes montrent que l'influence du bruit est beaucoup plus importante sur les points de base que sur les points secondaires, ceci s'explique par le fait que les points de base influencent directement l'ensemble des points puisqu'ils servent à définir leurs coordonnées projectives.

La méthode par projection centrale présente un léger avantage en ce qui concerne la précision de la position des points non bruités. Par contre, la stabilité des points est nettement meilleure pour la technique en projection parallèle.

Ces résultats peuvent sembler paradoxaux, puisque la projection de ces images optiques est centrale. Cependant, nous pouvons l'expliquer par le fait que la méthode de calcul avec quatre points est plus stable, le cinquième point risquant de perturber la méthode de calcul s'il n'est pas défini avec précision.

On peut donc avoir intérêt à considérer la projection comme parallèle pour les images d'objets suffisamment éloignés et compacts. Ceci présente en outre l'avantage de ne nécessiter que la connaissance de quatre points dans l'espace, ce qui réduit les paramètres nécessités pour le calcul des points et limite donc aussi la somme des erreurs induites par l'approximation des points supposés connus dans l'espace.

 

 

 

 

 

 

 

6.7 Conclusion

Les quelques expériences réalisées montrent que dans certaines conditions, objet compact ou éloigné, la projection centrale peut être approximée par une projection parallèle, ce qui limite les informations à fournir au module de calcul des points dans l'espace.

Pour les images optiques standard les résultats sont meilleurs et plus stables si l'on considère la projection comme parallèle, ceci est du à l'imprécision des valeurs fournies par l'utilisateur et aux distorsions des plans images des appareils de prise de vue. Il est donc nécessaire d'approfondir les techniques de correction d'images optiques pour améliorer la qualité des reconstructions.

Il reste d'autre part à élargir le calcul des points à l'ensemble de l'image. L'incertitude de l'appariement viendra alors s'ajouter aux problèmes que nous rencontrons sur les points étudiés dans ce chapitre.

Cependant les résultats actuels permettent d'envisager l'utilisation de notre chaîne de traitement pour obtenir une information sur la forme des objets observés, même si les mesures sont imprécises. Ceci est particulièrement utile pour les images d'objets de forme difficile à contrôler, comme les objets microscopiques par exemple.

Suite